پاسخ فعالیت صفحه 37 ریاضی دوازدهم تجربی

حل تمرین فعالیت صفحه 37 ریاضی دوازدهم ### الف) اثبات $\tan \alpha = AM' = b$ 1. **بررسی مثلثات:** مثلث $OAM'$ (مثلث بزرگتر) و مثلثی که برای تعریف $\sin \alpha$ و $\cos \alpha$ استفاده می‌شود (مثلث کوچکتر با وتر $OM$)، هر دو **قائم‌الزاویه** هستند و در زاویه $\alpha$ مشترک‌اند. 2. **استفاده از تعریف تانژانت:** در مثلث قائم‌الزاویه $OAM'$: $$\tan \alpha = \frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{ضلع مجاور}} = \frac{AM'}{OA}$$ 3. **جایگذاری مقادیر:** نقطه $A$ روی دایره مثلثاتی است و مختصات $(1, 0)$ دارد. بنابراین طول ضلع $OA$ برابر $1$ است. $$OA = 1$$ 4. **نتیجه‌گیری:** $$\tan \alpha = \frac{AM'}{1} = AM'$$ $$\text{همچنین، } M' \text{ مختصات } (1, b) \text{ دارد، پس } AM' \text{ (طول عمودی) برابر } b \text{ است.}$$ $$\mathbf{\implies \tan \alpha = AM' = b}$$ --- ### پ) بررسی علامت تانژانت علامت تانژانت ($\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$) به علامت سینوس و کسینوس وابسته است. تانژانت مثبت است اگر سینوس و کسینوس هم‌علامت باشند و تانژانت منفی است اگر سینوس و کسینوس ناهم‌علامت باشند. 1. **ربع اول ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$):** * $\sin \alpha > 0$ و $\cos \alpha > 0$ (هر دو مثبت) * $\tan \alpha = \frac{+}{+} = \mathbf{+}$ (مثبت) 2. **ربع دوم ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$):** * $\sin \alpha > 0$ و $\cos \alpha < 0$ (ناهم‌علامت) * $\tan \alpha = \frac{+}{-} = \mathbf{-}$ (منفی) 3. **ربع سوم ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$):** * $\sin \alpha < 0$ و $\cos \alpha < 0$ (هر دو منفی) * $\tan \alpha = \frac{-}{-} = \mathbf{+}$ (مثبت) 4. **ربع چهارم ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$):** * $\sin \alpha < 0$ و $\cos \alpha > 0$ (ناهم‌علامت) * $\tan \alpha = \frac{-}{+} = \mathbf{-}$ (منفی) $$\mathbf{\text{نتیجه: } \text{تانژانت در ربع‌های اول و سوم (هم‌علامت) مثبت، و در ربع‌های دوم و چهارم (ناهم‌علامت) منفی است.}}$$ --- ### ت) آیا $\tan \frac{\pi}{2}$ و $\tan \frac{3\pi}{2}$ عدد حقیقی هستند؟ **پاسخ: خیر.** این مقادیر عدد حقیقی نیستند (تعریف‌نشده‌اند). **دلیل (با کمک شکل):** $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$ 1. **برای $\alpha = \frac{\pi}{2}$:** $$\tan \frac{\pi}{2} = \frac{\sin \frac{\pi}{2}}{\cos \frac{\pi}{2}} = \frac{1}{0}$$ $$\mathbf{\text{از نظر هندسی:}} \text{ ضلع دوم زاویه } \frac{\pi}{2} \text{ (محور } y \text{ مثبت) موازی با محور تانژانت } T'AT \text{ است. امتداد دو خط موازی هیچ‌گاه یکدیگر را قطع نمی‌کنند. بنابراین، } \tan \frac{\pi}{2} \text{ تعریف‌نشده است.}}$$ 2. **برای $\alpha = \frac{3\pi}{2}$:** $$\tan \frac{3\pi}{2} = \frac{\sin \frac{3\pi}{2}}{\cos \frac{3\pi}{2}} = \frac{-1}{0}$$ $$\mathbf{\text{از نظر هندسی:}} \text{ ضلع دوم زاویه } \frac{3\pi}{2} \text{ (محور } y \text{ منفی) نیز موازی با محور تانژانت } T'AT \text{ است و آن را قطع نمی‌کند. بنابراین، } \tan \frac{3\pi}{2} \text{ تعریف‌نشده است.}}$$